中學數學教科書中的開放題

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在較長一段時期中，“問題解決”成為我國數學教育界的重要議題，現在把議題轉移到開放題上來，可以認為是“問題解決”研究的進一步深入。本文擬對開放題的含義、教育價值，以及怎樣在中學數學教科書中引入開放題的問題作初步探討。 一、兩 個 概 念 在對開放題的討論中，對於什麼是開放題，大傢的意見尚不一致，因而有必要對開放題的含義作一個規定。此外，有的同志把某些探索性問題也歸入開放題，雖然對探索題的研究具有公認的意義，但在討論與研究開放題的時候，有必要把這兩者加以區別。 1、開放題的含義 以下是一些學者關於什麼是開放題的論述： （1）答案不固定或者條件不完備的習題，我們稱為開放題； （2）開放性題是條件多餘需選擇、條件不足需補充或答案不固定的題； （3）有多種正確答案的問題是開放題。這類問題給予學生以自己喜歡的方式解答問題的機會，在解題過程中，學生可以把自己的知識、技能以各種方式結合，去發現新的思想方法； （4）答案不唯一的問題是開放性的問題； （5）具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問題，稱之為開放性問題； （6）所謂開放性問題“問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多餘”。 考察以上論述，關於開放題的條件的描述有：不完備；可以多餘；多餘需選擇，不足需補充；等。關於開放題的答案（結論、解法）的描述有：不固定；有多種；不唯一；不必唯一；不確定；不必有解；等。 從上可知，雖然對問題條件的描述多種多樣，但對答案的看法比較一致：答案不唯一。筆者認為：（1）問題的“結論”是在問題系統內部相對於對於問題的“條件”而言的，不能與問題的“答案”概念混淆，問題的“答案（解法）”是相對於整個問題而言的；（2）對於問題的條件不作太多的限定，對問題的答案給以寬松的環境，但要求是多樣化的，豐富多采的，正是開放的含義所在。所以，筆者認為對開放題可以作出以下的簡明的描述：答案不唯一的問題稱為開放題。開放題的一個顯著特征是：答案的多樣性（多層次性）。 一個問題是開放還是封閉常常取決於提出問題時學生的知識水平如何。例如，對n個人兩兩握手共握多少次的問題，在學生學習組合知識以前解法很多，是一個開放題，在學習組合知識之後則是一個封閉題。因而，可以引入問題的開放度（Opening Degree）概念：OD（相對於知識的時機，方法x，水平y）。這裡的“方法x”是對解決問題的方法種數的描述，“水平y”是對解決問題的思維水平層次的描述。 2、探索題：在一些討論中常常把開放題與探索題混同起來，可能會對開放題的研究帶來影響，有必要把兩者予以區別。一般地，探索題是指條件完備，結論未給出而需要學生進行探索、猜想並加以證明的問題。當然，開放題集合與探索題集合的交集應該是非空的。 二、教 育 價 值 開放題已經被部分老師引入中學數學課堂教學，並對開放題的教育價值加以研究。就目前看，人們對開放題的教育價值並沒有引起廣泛的重視。我們必須認真研究，積極宣傳，使大傢形成共識。筆者認為引入開放題有以下的教育價值： 1、主要價值：有利於培養學生的創造性思維能力，教學生一般科學方法 創造性思維就是人們在創造性活動中的思維。創造性活動有兩個最顯著的特點，一個是首創性，新奇獨特、前所未有；另一個是社會性，即創造性活動的產品要有社會價值。所謂創造性思維能力是指運用已知信息、產生出某種新穎、獨特，有社會價值的思維產品的能力。 與創造性思維密切相關的一種思維形式是發散性思維。所謂發散性思維就是從所給的信息中產生信息，從同一來源中產生各種各樣為數眾多的輸出，即從問題的多種可能方向擴散出去，探索問題的多種解法的思維形式。與發散性思維相對的是集中思維，即將各種信息結合起來僅產生一個答案的思維，這種思維通常應用於隻存在一個正確答案的問題。創造性思維不等同於發散性思維，它是發散性思維和集中思維的統一，隻不過創造性思維通常更多或首先表現在發散性上。創造性思維過程常是先通過發散性思維然後作集中思維找到問題的解決方法。 在我們迎接21世紀知識經濟時代的挑戰的時候，培養學生的創造性能力，是擺在我們全體教育工作者面前的緊迫任務。 知識經濟是以知識和信息為基礎，競爭與合作並存的全球化市場經濟。在知識經濟時代，經濟將直接信賴於知識和信息的生產、擴散和應用，知識成為最重要的經濟因素和生產要素，帶動社會生產中的各種勞動形式向以腦力勞動為主和不斷開發新知識資源的方向發展。目前，發達國傢的國內生產總值的50以上已經以知識為基礎。在知識經濟時代，一個國傢國民素質的高低、掌握知識的程度、擁有人才的數量，特別是知識創新和技術創新的能力，將成為影響一個國傢、一個民族在國際競爭和世界格局中的地位的關鍵因素。 雖然，我國的科學技術取得瞭長足的進步，但我國的國際科技競爭力與國傢發展的需求以及國際先進水平相差還較大，近年來還有拉大的跡象。1996年，雖然我國的GDP（國民生產總值）排在世界第7位，但國際科技競爭力卻在下滑，排在世界第28位。對世界各國的科技實力作分析，可以把各國大致分為五類：第一類是科技強國，隻有美國，第二類是科技大國，如日本、法國、德國、英國、俄羅斯等；第三類是中等科技大國，如加拿大、意大利、荷蘭、澳大利亞、西班牙、韓國等。第四類是科技發展中國傢，如印度、中國、巴西等；第五類是科技欠發達國傢，以大部分非洲國傢為代表。從此我們可以看到我國的科技實力在世界的坐標。我國的知識創新能力也相對不足，專利指標和基礎科學研究指標分別列世界第21位和第32位。當全球正在走向知識經濟時代的時候，我們面臨著要解決工業化的問題。 江澤民總書記在中國科學院呈送的《迎接知識經濟時代，建設國傢創新體系》研究報告上作瞭重要批示：“知識經濟，創新意識對於我們21世紀至關重要”。在今年5月4日慶祝北京大學建校100周年大會上，江澤民總書記又強調指出：“全黨全社會都要高度重視知識創新、人才開發對經濟發展和社會進步的重大作用，使科教興國真正成為全民族的廣泛共識和實際行動。” 國民素質的提高，創造性人才的培養，知識創新和技術創新能力的開發主要有賴於教育。科學技術的迅猛發展，知識經濟時代的即將來臨，使教育在21世紀的經濟競爭和社會發展上戰略地位更加重要，這為教育的改革和發展提供瞭新的機遇，也提出瞭嚴峻的挑戰。我國的教育傳統觀念是灌輸知識，而不是啟發人、培養人的學習能力、創造思維能力、獨立發展能力，學生往往書本成績很好，學習很刻苦，但動手能力較差，創新精神不足。我們必須深入教育改革，要從傳授、繼承已有知識為中心的傳統教育，轉變為著重培養學生的創新精神的現代教育，不僅要教給學生以知識，更要在知識教育的基礎上，教學生運用知識去解決問題，去探索求知，學會學習。要建立以全面素質教育為基礎的創新教育體系和以創新意識、創新人才為核心的人才培養機制。 我國的數學教學與國際上其他一些國傢的數學教學比較，具有重視基本知識教學，重視基本技能訓練，重視數學能力的培養等顯著特點，因而我國學生的數學基本功比較紮實，學生的整體數學水平較高。然而，我國數學教學也有一些不足。其中兩個比較突出的問題是，學生應用數學的意識不強，創造能力較弱。學生往往不能數學地提出問題，不能把實際問題抽象成數學問題，不能把所學的數學知識應用到實際問題中去，對所學數學知識的實際背景瞭解不多；學生機械地模仿一些常見數學問題解法的能力較強，而當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對於諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發現問題、解決問題的科學思維方法瞭解不夠。 我們要努力繼承我國數學教學的優良傳統，同時要彌補我們的不足。首先，在教學過程中要更多地引入實際問題，重視培養把實際問題抽象成數學問題的能力，教給學生數學內容的實際背景，教學生用數學觀點觀察問題、認識問題，培養學生用數學的意識；其次，要真正樹立學生在學習過程中的主體地位，要提供機會、創造條件，讓每一個學生積極主動地參與到學習過程中去，允許並鼓勵學生發表各種觀點，培養學生的創造精神。 我們提倡在數學教學中引入開放題正是適應瞭時代要求。 由於開放題的答案不唯一，就給學生提供瞭較多提出自己新穎獨特方法的可能，在求得多種答案的過程中，有利於培養學生思維的廣闊性、靈活性、獨創性，從而培養學生的發散性思維；在尋找多種答案中的最優解的過程中培養學生思維的深刻性、嚴謹性，從而培養學生的集中性思維。在上述這種發散和集中的過程中培養學生的創造性思維能力。 此外，在解決開放題的過程中，常常可以學到一些解決問題的一般科學方法：畫圖，引入符號，列表分析數據；分類，分析特殊情況，一般化；轉化；類比，聯想；建模；討論，分頭工作；證明，舉反例；簡化以尋找規律（結論和方法）；估計和猜測；尋找不同的解法；檢驗；推廣，這些都是解決問題的常用方法，也是一般的科學方法。 Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社